Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н -

[cmpax_u_pagocmb]

математик, доказавший гипотезу Пуанкаре, которая была нерешённой проблемой около века, а в настоящий момент это единственная решённая математическая проблема из семи задач тысячелетия (опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 гг.)

Гипотеза Пуанкаре́ —гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной.

Бие́кция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным.

Сюръекция - это такое отображение, что каждый элемент области значений имеет хотя бы один прообраз.

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Зада́чи тысячеле́тия — семь математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн. долларов США.

Вопрос: А почему гипотеза про четырёхмерный шар является «важной задачей»? В чём её важность?

P.S.
Вообще с экономической стороны ситуация выглядит так:
1. Институт Клэя, основанный в 1998 г., заключил в 2000 г. со спонсором контракт на грант за решение «задач тысячелетия» (почему тысячелетия, если там всего 100 лет? Наверное, чтобы больше денег дали). Спонсор согласился легко: какой шанс, что решат в ближайшие 3 года?
2. В 2002-2003 г. Перельман (который по случайному совпадению в первой половине 1990-х работал в нескольких институтах в США) публикует решение, которое проверить всё равно невозможно (четвёртого измерения нет). Математик-бессеребреник отказывается от премии (как и договаривались), а премия остаётся в институте.
3. Дальше, вероятно, спонсор почуял, что у него на ровном месте пытаются украсть миллион долларов, и до 2011 г. у них скорее всего шли судебные тяжбы с институтом, потому что в сентябре 2011 институту пришлось учредить «стипендию для молодых математиков», которые и получат эти деньги (украсть напрямую не получилось, но и спонсор свои деньги потерял).

UPD 20.02.2025
National Science Foundation Fires 168 Workers as Federal Purge Continues
Мне кажется, по моему опыту, что слишком часто гранты NSF распределяются не на основании реальных достижений (merit), а по совершенно не относящимся к науке обстоятельствам, либо DEI (принадлежность к правильному гендеру и расе), либо connections (знакомства, связи, блат - когда выигрывают те, у кого тут везде приятели с детства или от родителей). Как правило, у людей, которые там командуют, нет научных открытий, нет достижений. Никакие они не ученые, а обычные бюрократы. При этом бюрократы от науки не хотят делиться с теми учеными, кто не входит в их обойму. Возможности вступить в их мафию посторонним тоже не дают, вне зависимости от научных достижений. Поэтому сочуствовать им что-то совсем и не хочется. Наоборот, меня скорее радует как Трамп и Маск гонят грязными тряпками бюрократов от науки.
https://duchifat.livejournal.com/3207730.html?mode=reply&style=mine#add_comment
https://www.wired.com/story/national-science-foundation-february-2025-firings/

Comments

[jaguarcomment.livejournal.com]

А почему «проверить невозможно из-за четырёхмерности»? В математике возможно обсуждение многомерных пространств, это постоянный вопрос. Я думаю проверили и убедились, что решение верное.

[cmpax-u-pagocmb.livejournal.com]

Если простыми словами о самой теореме:

Пуанкаре выделил 3 признака для обычной сферы:

1. Связность (отсутствие "островов")
2. Замкнутость (конечность пространства)
3. Тривиальность фундаментальной группы (отсутствие "дыр")

Соответственно, Пуанкаре экстраполировал тот же вывод на следующее измерение (тогда было модно предполагать существование четвёртого, пятого, етс. измерений).

Сразу определимся с логическими неувязками ещё на нижних уровнях геометрии: никакого "одномерного пространства"-прямой линии и "двумерного пространства"-плоскости - не существует точно так же как и четырёхмерного. Почему это важно? Потому что предшествующая теорема (про двумерное пространство и обычную сферу) точно так же смешивает гипотетические и реальные объекты.

>>А почему «проверить невозможно из-за четырёхмерности»?<<

А как вы проверите?
Например, мне говорят: параллели не пересекаются, меридианы сходятся в одной точке. Я могу это проверить. А с гиперсферой?

>>В математике возможно обсуждение многомерных пространств<<

А зачем?
Практический смысл какой?

Я так понимаю, гипотеза Пуанкаре направлена на теоретическое обоснование существования четвёртого измерения, если будут установлены определённые факты.

Но пока пункт 2 (замкнутость) представляется невозможным.
Соответственно, мы доказываем одну невозможную сущность через другую невозможную сущность.
Ну и в чём же важность этой задачи?

[jaguarcomment.livejournal.com]

Признаюсь, я мало в этом понимаю.

Лишь знаю, из более близких себе тем, что например в задачах искусственного интеллекта постоянно используются многомерные пространства. Но не знаю (и не способен понять) имеет ли к этому отношение Перельманов труд.

[nravov.livejournal.com]

Я вообще не вижу проблемы тут.

Берём наше обычное трёхмерное пространство и 2-сферу в нём. Для неё утверждение очевидно, любую поверхность без краёв и без дыр можно гладко сдеформировать в сферу любого диаметра.

Вот просто даёте мне уравнение описывающее эту поверхность, и я даю вам преобразование деформирующее его в сферу. Далее, считаем что эта трёхмерная поверхность есть просто проекция четырёхмерной поверхности на трёхмерное пространство. При этом в любом из сечений нет дыр и нет краёв.

Каждое сечение стягиваем в 2-сферы одинакового диаметра. Всё.

Почему это интересно? Ну у математиков свои причуды; может, им кажется это красивым и необычным.